分类： 物理学 >> 普通物理:统计和量子力学,量子信息等 提交时间： 2017-11-24
摘要： 对于2体系统，有Kepler三定律，即椭圆定律、面积定律和周期定律；显然，对于3体系统，由于周期轨道已经不是椭圆，所以不存在椭圆定律，同时由于这时的周期轨道拓扑上比较复杂，面积定律也不一定成立。从对3体问题的大量数值模拟看，每一个物体沿其轨道走一圈的时间是相同的，就是说，对于给定的3体的质量，在引力场作用下，其周期轨道的周期可能满足Kepler周期定律。现在的问题是，从这些有限的数值实验总结出的结论是否是3体系统普遍存在的运动规律？如果是，能否推广到多体系统？显然，随着物体数目的增加，自由度越来越多，动力学过程异常复杂，如果继续使用数值模拟来研究多体问题，计算工作越来越存在挑战，所以必须想其他办法，进行必要的理性思考。 如果不使用数值模拟，而使用量纲分析的方法是否也可以得出类似的规律？因为量纲分析方法是一种普遍适用的方法，使用这种方法得到的结果一般具有普适性，这样就可以弥补使用有限次数的数值模拟总结出一般规律的不足。使用量纲分析方法不仅是对数值模拟的一个很好的互补，而且可以统一的处理多体问题。 设有一个多物体系统，其中有 $n$ 个物体，$m_k \,(k=1,\ldots, n)$，每个物体都在同一个 Newtonian 引力场中做周期轨道运动，引力场常数是 $G$ 。假设不考虑每个物体的旋转，把每个物体看成一个质点，它们之间不能相互碰撞，每一个物体都有它们自己的周期轨道。这是我们可以事先知道和假定的，但我们不知道它们将如何运动。现在的问题是，如何从这些有限的信息中，提炼出问题的基本参量？使用量纲分析成败的一个关键环节就是如何选取问题基本参量，如果参量选取不正确，会导致非常荒唐的结果。那么，对于多体系统，那些参量才是核心的基本参量呢？ 从物理上看，这些基本参量应当包括引力场、物体的特征质量和周期轨道的特征尺度这三个方面。显然，对于 Newtonian 引力场可以取引力常数 $G$ ；物体的特征质量可以仿照2体系统取约化质量 $M$；每个周期轨道千差万别，不能像椭圆轨道那样去半长轴为特征尺度，但是周期轨道有个拓扑特征就是轨道都是封闭，所以可以把封闭轨道包围的面积作为轨道的特征尺度，即周期轨道面积 $A$。由于引力正比于相关物体质量的乘积，仿照2体系统中的参数 $\alpha=Gm_im_j$, 我们不直接使用 $G$，而是使用 $n$ 体系统的$\alpha_n$。 本文的基本结果可以阐述如下：本文从量纲分析的角度，统一的研究了多体系统的周期轨道周期问题。首先，根据多体系统的特点，选取引力场参数 $\alpha_n$ , 系统约化质量 $M_n$ 和周期轨道所围面积 $A$ 为基本参量，然后把周期 $T$ 和 系统能量 $E$ 表达成 这三个基本参量的函数，使用量纲分析的 Buckingham 定理，可以分别把这二个关系，简化成无量纲关系，特别惊喜的是，这二个关系都只能分别产生一个无量纲 $\pi$, 由于只有一个 $\pi$, 所以这个 $\pi$ 就必须是一个常数。如何确定这个常数是成功的第一步，它可以这样来确定。由于二体系统是多体的特殊情况，利用其已经开普勒第三定律，我们可以唯一确定其中的一个常数。从而，从量纲分析的普遍的角度，推导出多体系统的普适规律: Kepler 第三定律，即周期律。这个定律是说，如何一个多体系统，其周期运动满足轨道面积的 $3/4$ 幂次律、或者是总能量的 $3/2$ 幂次律。 量纲分析虽然可以给出问题的核心关系，但还不能完全具体确定多体系统的Kepler第三定律，还需要利用其它已有的结果所提供的信息来进一步的确定。可惜的是，我们只有2体系统的解析结果，即Kepler第三定律。从量纲分析所得到的一般关系，模仿2体的Kepler第三定律，并根据物理的对称性把2体Kepler第三定律扩展到多体系统，从而得到了多体Kepler 第三定律，其中没有任何待定参数。特别是，对于2体系统，多体的Kepler第三定律完全退化成经典的Kepler第三定律，说明提出的多体开普勒定律与经典结果是协调一致的。 利用我们得到的多体Kepler第三定律，对于2体系统和三体系统，我们进行了数值计算。通过与3体系统的其他数值计算比较，发现吻合度很好。有很好的线性性。
分类： 物理学 >> 电磁学、光学、声学、传热、经典力学和流体动力学 提交时间： 2017-09-30
摘要： 研究意义： 悬浮于液体的薄膜在其上有个液滴(drop)，由于液滴的表面张力的作用，薄膜会发生皱纹。皱纹的长度和数量对于测量和标定薄膜材料的性能非常有意义。 J. Huang, M. Juszkiewicz, W. H. de Jeu, E. Cerda, T.Emrick, N. Menon and T. P. Russell在 Science, 317, 650(2007) 通过细致的实验，并通过曲线拟合得到了薄膜皱纹长度和数量的经验表达式，2010年D. Vella, M. Adda-Bedia and E. Cerda, Soft Matter 6,5778 (2010)，利用圆形薄板理论进行了解析和数值分析，从理论上部分地验证了 Huang et al(2007)的经验公式。 存在的问题是： 1. 目前得到的经验表达式是否是普遍适用的结果？ 2.如果不是普遍适用，那么在什么情况下可以使用这些经验公式？ 3.目前的结果都是在各向同性薄膜的情况下获得的结果，那么对于正交各向同性薄膜的情况如何把现有表达式推广到正交各向同性薄膜？ 4.Huang （2007）, Vella （2010）和其他成果都是只是研究静态情况，而实际情况是，表面张力的作用是一个动力学的过程，随着时间的发展，皱纹长度和数量要发生变化，如何在静态成果的基础上，推广到皱纹动力学？ 5.另外，液滴的半径如果超过毛细尺度，重力就起主导作用，就必须考虑重力的影响（之前的论文都没有考虑），这时的皱纹长度和数量与时间的关系满足什么标度律？ 本文的工作： 首先我们使用量纲分析方法，推导出皱纹长度和数量的一般关系，发现皱纹长度和数量由二个组合无量纲参数的联合作用控制，在一般非线性变形的情况下，没有普遍适用的规律（标度律），只有在线性小变形的情况，才有普遍适用的标度律。 在小变形的情况下，皱纹长度主要有薄膜面内刚度与表面张力之比控制，其物理意义就是，在液滴薄膜张力一定的情况下，薄膜面内拉伸性能越好皱纹越长，反之，越短。皱纹数量取决于液滴的半径和薄膜弯曲刚度与表面张力之比，薄膜越容易弯曲皱纹越多，反之，越少。这里的结果完全符合物理观察。 对于小变形情况，我们把各向同性薄膜的情况推广到正交各向同性的情况。 对于皱纹动力学问题，我们利用Tanner的液滴半径随时间的标度律，结合我们得到的结果，成功地得到了皱纹长度和数量的动力学结果。以前没有看到皱纹动力学的结果。 最后，我们给出了重力主导的皱纹长度和数量的表达式，发现在重力主导的情况下，皱纹长度和数量对于给定的问题，是一个常数。以前没有看到重力主导情况下的皱纹结果。
分类： 物理学 >> 普通物理:统计和量子力学,量子信息等 提交时间： 2017-09-13
摘要： 这是一个毛细动力学的百年经典难题，以前只有分段近似解析估计，从来没有适用于全时间域的精确解和近似解析解，这里给出了三个解（摄动解、精确级数解和近似解析解），由于前二个收敛慢，不得不提出近似解析解，这个近似解析解统一并改进了以前一切近似估计，与目前的有关数值计算和实验都非常吻合。 总体上说，毛细动力学过程是表面张力与壁阻力和重力联合作用的相互斗争并达到统一的结果。开始阶段表面张力起主导作用，后来壁阻力和重力起主导作用。整个动力学过程基本可以这样来定性描述：在一个无限大的蓄水池中，在初始状态，毛细的高度和速度都是零。由于表面张力的作用，液体获得了启动的初始加速度（初始加速度绝不能为零！），开始以一个比较均匀的速度上升，在上升阶段表面张力起主导作用；但是，随着毛细的上升，壁摩阻和重力开始起作用，企图阻止毛细的上升，它们的联合作用在一个时间点成功地使毛细上升减速，当毛细上升到达 $H$ 高度后，会在 $H$ 附近振动非常短的时间，然后衰减直至停留在 $H$ 高。至此。表面张力与壁阻力、重力达到对立统一，毛细动力学过程结束，一切归于平静。
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